Основы логики.

Модальная логика

Для классической логики вещь существует или не существует, и нет никаких других вариантов. Но как в обычной жизни, так и в науке постоянно приходится говорить не только о том, что есть в действительности и чего нет, но и о том, что должно быть или не должно быть и т.д. Действительный ход событий можно рассматривать как реализацию одной из многих мыслимых возможностей, а действительный мир, в котором мы находимся, — как один из бесчисленного множества возможных миров.

В возможного безбрежном океане

Действительное — маленький Гольфстрим.

Н. Васильев

Язык классической логики слишком беден, чтобы на нем удалось передать рассуждения не только о реальных событиях (имеющих место в действительном мире), но и о возможных событиях (происходящих в каких-то возможных мирах) или о необходимых событиях (наступающих во всех таких мирах).

Законы логики как элементы логической системы

Есть еще один предрассудок, культивировавшийся «расширенной» логикой и доживший до наших дней, — это обсуждение законов логики в полном отрыве их от всех иных ее важных тем и понятий и даже в изоляции их друг от друга.

При чтении старых книг по логике постепенно складывается впечатление разрозненности, необязательности и несвязанности рассматриваемых в них тем. Если удалить из старого учебника логики, скажем, раздел о законе исключенного третьего, на трактовке других законов это не скажется. Можно вообще устранить из такого учебника всякое упоминание об основных законах. И при этом все оставшееся не нужно будет даже перефразировать.

Законы логики

Трактовка логических законов в традиционной логике.

Под это до крайности расплывчатое понятие основных законов можно было подвести самые разнородные идеи. Обычно к таким законам относили закон противоречия, закон исключенного третьего и закон тождества. НереДко к ним добавляли еще закон достаточного основания и принцип «обо всех и ни об одном».

Законы логикии.

Законы де Моргана

Именем английского логика XIX в. А. Де Моргана называются логические законы, связывающие с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или».

Один из этих законов можно выразить так:

отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не-А или не-В».

Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Другой закон:

неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии.

На основе этих законов, используя отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:

«А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,

«А или В» означает «неверно, что не-А и не-В».

Законы логики.

Закон контрапозиции

«Закон контрапозиции» — это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.

Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так:

если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.

Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».

Другой закон контрапозиции говорит:

если верно, что если не-первое, то не-второе, то верно, что если второе, то первое.

Например: «Если верно, что рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».

Еще два закона конрапозиции:

Содержание и формы логических законов.

Для природы и общества характерна взаимосвязь предметов и явлений.
Эти связи могут быть объективными и субъективным, случайными и
необходимыми, общими и частными. Наиболее объективные, устойчивые,
необходимые и существенные связи носят название закона. Законы природы
фиксируют то наиболее прочное, повторяемое, что остается в явлении. Человек
в своем развитии приобрел способность познавать окружающий мир,
субъективный образ которого должен совпадать с реальностью.
Для студента это положение методологично, поскольку он должен
понять и объяснить факт содержательного совпадения и формального отличия
законов природы и законов логики.

Основные законы алгебры логики.

В алгебре логики переменные могут принимать только 2 значения:
0 или 1.
Табл.1.1 Табл.1.2
------------T------------¬ -----------T---------¬
¦Аргументы ¦ Функции ¦ ¦Аргументы ¦ Функция¦
+-----------+------T-----+ +----------+---------+
¦ ¦ И ¦ ИЛИ¦ ¦ ¦ НЕ ¦
¦ х1 х2 +------+-----+ ¦ х +---------+
¦ ¦ у1¦ у2¦ ¦ ¦ у3 ¦
+-----------+------+-----+ +----------+---------+
¦ 0 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ 0 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ +----------+---------+
¦ 1 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 0 ¦
¦ 1 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ L----------+---------+
+-----------+------+------
И -логическое умножение,конъюкция.
ИЛИ -логическое сложение,дизъюнкция.
НЕ -отрицание,инверсия.

Практическая логика.

Полные системы логических операций

Возможность вывести любую тавтологию в чрезвычайно простом исчислении Гильберта всего с двумя операциями ¬ и Ъ наводит на вопрос, достаточно ли широко наше понятие пропозициональной формулы, чтобы охватывать все способы образования высказываний? Нет ли каких-нибудь новых логических операций, которые нельзя было бы выразить через ¬ и Ъ, и использование которых сильно расширило бы возможности нашего формального логического языка? Покажем, что таких операций нет.

Каждая мыслимая логическая операция над n высказываниями определяется соответствующей функцией f(A₁,А₂,...,A_n) от n логических переменных, принимающей значения И или Л для каждого набора значений своих аргументов. Такая функция называется логической и задаётся таблицей

Аксиоматический метод. Исчисление высказываний

Хотя для проверки логических рассуждений можно использовать алгебру логики, сами рассуждения представляют собой цепочку утверждений, каждое из которых либо является исходной посылкой (постулатом, аксиомой, гипотезой), либо получается из предыдущих утверждений с помощью определённых правил - правил логического вывода. Эти правила вывода применяются к утверждениям формально, т.е., исходя только из их формы, структуры, а не содержания. Весь содержательный анализ происходит при формулировании аксиом.

Способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода, позволяющих формальным логическим путем получать утверждения (теоремы) данной теории, называется аксиоматическим методом. 

Основы логики высказываний

Так как при организации вычислений часто приходится рассматривать те или иные логические условия, то мы начнем изложение с основ математической логики.

Слово логика означает систематический метод рассуждений. Мы познакомимся с одним из разделов этой науки - исчислением высказываний. Исчисление высказываний - совокупность правил, используемых для определения истинности или ложности логических предложений. Логике высказываний можно "научить" вычислительную машину, которая таким образом получает возможность "рассуждать", хотя и на весьма примитивном уровне.

Математик Джордж Буль (1815-1864) описал алгебру, основанную на операторах И, ИЛИ и НЕ и булевых переменных, которые принимают только два значения, например, 0 или 1. Эти значения могут моделироваться наличием или отсутствием тока в электрической цепи, состояниями "Включено" или "Выключено" некоторого переключателя. Далее мы рассмотрим логические предложения, построенные с помощью этих операторов, называемых также логическими связками. Значения таких выражений вычисляются и преобразуются с помощью правил булевой алгебры примерно так же, как числовые выражения преобразуются и упрощаются в обычной арифметике.